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Supongan que caminan por una playa paradisiaca, un lugar en donde la arena es blanca, las mujeres andan en "topless" todos son felices, el sol brilla y son atendidos por macacos mayordomos. De pronto avistan sobre la playa una tabla de madera, su curiosidad los carcome y ordenan a alguno de los macacos mayordomos que les traiga dicho pedazo de madera. Al tomar la tabla se dan cuenta que es plana delgada y por un lado de la tabla pueden leer: "Lo que diga el anverso es falso". Intrigados voltean la tabla y pueden, mientras se despiertan del sopor de la chela, leer: "Lo que diga el anverso es cierto".
Una definición concisa de lo que es una paradoja se puede consultar en wikipedia Las paradojas son declaraciones que en apariencia son verdaderas, no obstante pueden traer consigo una contradicción. Algunas paradojas surgen cuando uno no define bien el objeto de estudio y esto en particular sucede en matemáticas. Y hablo de matemáticas en un sentido más puro, es decir, no me refiero a simples cuentas o integrales u otra cosa que sea un simple ejercicio mecáncio, me refiero a matemáticas a esa necesidad de demostrar-entender.
Os pondré un ejemplo de lo que en matemáticas se pretende:

Generalmente los matemáticos definimos las cosas como en un juego de mesa o un juego de consola. Por ejemplo, en 21 tenemos las siguientes reglas, suponiendo dos jugadores:

1. Se usa una baraja inglesa.
2. Se reparte una carta a un jugador sin que este vea los "monitos".
3. Se reparte una carta al otro jugador sin que este vea los "monitos".
4. Uno de los jugadores pide una carta volteada, es decir ve a los monitos.
5. Otro de los jugadores hace lo mismo que en 4.
6. Si uno de los jugadores siente que esta cerca del 21 sumando la carta volteada y la carta en lo que no se ven los monitos, termina y reta al otro jugador a que volteen las cartas. En caso contrario pide otra carta volteada y así...

No ahondaré en detalle respecto al 21, pero si podrá el lector entender que ese juego tiene reglas definidas y a partir de dichas reglas se "juega". De manera análoga en matemáticas, los matemáticos definimos las reglas del juego que vamos a jugar. Y muchos de los problemas que uno enfrenta como matemático es cuando no se definen bien las cosas o se pretende creer en la intuición como reglas aceptadas, por ejemplo el no eruptar o no tener flatulencias en la mesa es una regla socialmente aceptada, mas no está definida, en matemáticas uno no se puede dar el lujo de esas reglas socialmente aceptadas, pues nos puede llevar a paradojas o peores cosas como fue la paradoja planteada por Bertrand Russell.

Supongamos que decidimos jugar a los conjuntos, pero tomamos como primera definición del juego, una de las más intuitivas. Por ejemplo un conjunto de conejitas, todas son distintas, unas son altas, otras güeras, otras morenas, negras, todas son distintas no, es un conjunto de conejitas, claro... De manera análoga podríamos pensar en otros conjuntos, por ejemplo perros, ñoños, geeks, etcétera. Entonces no es la gran abstracción pensar en la definición de un conjunto como lo siguiente:

Definición 1.
Un conjunto es una serie de objetos distintos.

Pensemos en el ejemplo de las conejitas, las conejitas son los objetos claramente.

Bertrand pensó que basándose uno en esa definición podríamos pensar en dos clases de conjuntos, los ordinarios y los extraordinarios.
Un conjunto ordinario es aquel en el cual ninguno de sus elementos es el conjunto mismo y uno extraordinario es aquel conjunto en el que alguno de sus elementos es el conjunto mismo.

Ah chingá, dirán, pero que no rompe la definición, pues si la vuelven a leer os daréis cuenta que en lo absoluto pasa eso:

Un conjunto es una serie de objetos distintos. Un conjunto es una serie de objetos distintos... pues no, no rompe con la definición. Pensando en el ejemplo de las conejitas pues podriamos usar un poco de notación matemática:

Playboy = {Cindy, Alexa, Jovana, Cibeles, Lara}

Playboy bajo esa simbología es un conjunto ordinario.

Hustler = {Adriana, Fu ki mi, Fu ki yu, Tania, Hustler}

Hustler bajo esa simbología es un conjunto extraordinario.

Supongo que se entiende entonces la diferencia entre ordinario y extraordinario.

Rusell pensó entonces en el siguiente conjunto:

Sea el conjunto Bla que contiene a todos los conjuntos ordinarios distintos. Bla cumple con nuestra regla del juego, Un conjunto es una serie de objetos distintos, y claramente, el conjunto Bla es y no es ordinario. Esa es la paradoja. Pues si Bla es ordinario es obvio que Bla es un elemento de Bla, por que Bla es el conjunto que contiene a todos los conjuntos ordinarios, pero de ser así Bla sería extraordinario y por tanto Bla no sería elemento de Bla...

Sí, puede ser peor que beber un vodka tonic u algo más fuerte, mas todo ello se debe a que, como Russell se percató, nuestra definición de Conjunto no es la adecuada y una de las soluciones para evitar esa paradoja es puliendo nuestra definición de conjunto:

Un conjunto es una serie de objetos distintos y ninguno de los objetos puede ser el conjunto mismo.

Esa es la labor de entendimiento-juego que soportan y son las matemáticas, algo más allá de simple cuentas o cálculos.