Estrellas groovie (2)

En el anterior comentario mencioné la constante mágica n. Una manera de obtener dicha constante es la siguiente:

1. Sabemos que buscamos números del 1 al 12, exceptuando el 7 y el 11, por tanto podemos deducir que:

1+2+3+4+5+6+8+9+10+12=60 (ver nota 1)

2. Según la imagen mostrada buscamos números a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, tal que:

a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=60

3. Por propiedades de la estrella mágica sabemos pues:

a+h+f+j=n (ecuación 1)
a+b+c+d=n (ecuación 2)
g+h+b+i=n (ecuación 3)
g+f+e+d=n (ecuación 4)
i+c+e+j=n (ecuación 5)

4. Si sumamos a la ecuación 1 la ecuación 2, la 3, la 4 y la 5 tenemos:

2(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)=5n , pero por el punto 2 se sabe que a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=60, por tanto:

2*60=5n se sigue que n=24

Por tanto obtuvimos que la constante mágica es 24, luego hemos aclarado que tenemos que buscar a, b, c, d, e, f, g, h, i, j numeros del 1 al 12, quitando 7 y 11. Donde la constante mágica o el número mágico es 24. Ciertamente nos encontramos más cerca de la pista.

nota 1:

1+2+3+...+n=S
n+n-1+...+1=S
--------------
(n+1)+...+(n+1)=2S
n(n+1)=2S
Por tanto S=n(n+1)/2 en nuestro caso S=12*13/2=78, mas nosotros solo sumamos:

1+2+3+4+5+6+8+9+10+12=S-7-11
1+2+3+4+5+6+8+9+10+12=78-7-11=60

Estrellas groovie o sobre grafos sumados

"Al menos se conservó el título."

Tomaré licencia respecto a la bitácora al hablar de objetos matemáticos, pues desde mi punto de vista las matemáticas son un arte o una filosofía más que una ciencia. Sería interesante saber v. opinión al respecto.

Uno de los objetos que me llamó la atención al final de la carrera fueron las figuras mágicas, no ahondare, al menos no por el momento, al respecto, mas si lo haré sobre uno muy vaciado. La estrella mágica o el grafo mágico es una figura como la que muestro a continuación:



En donde hay que encontrar un número, digamos n, tal que:

a + b + c + d = n
a + h + f + j = n
[...]
i + b + h + g = n

Los números a, b, c, d, ... h, i, son números del 1 al 12, exceptuando el 7 y el 11.

Las estrellas mágicas también pueden ser pentagonales, hexagonales... y de mil formas que a uno se le ocurran:



En el caso de esta estrella se le conoce como de orden 9 por ser una con 9 picos por decirlo así. La regla sigue siendo la misma hay que encontrar un número n, tal que, por ejemplo, a+b+c+d=n y así sucesivamente. La palabra mágica refiere a la propiedad de la suma y conoceremos a n como el número mágico o la constante mágica.